Jak najít limity?

Tam je taková věc v matematice jako limitfunkce. Chcete-li porozumět tomu, jak najít limity, nezapomeňte na definici limitu funkce: funkce f (x) má limit L v bodě x = a pokud pro každou posloupnost hodnot x, která konverguje na a, se posloupnost hodnot y blíží:

L lim f (x) = L
x → a

Koncept a vlastnosti limitů

Jaký je limit, který můžete pochopit z příkladu. Předpokládejme, že máme funkci y = 1 / x. Pokud postupně zvyšujeme hodnotu x a podíváme se na to, co y je, dostaneme všechny klesající hodnoty: pro x = 10000 y = 1/10000; při x = 1 000 000 y = 1/1 000 000. Tedy. Čím více x, tím méně y. Je-li x = ∞, y je tak malé, že lze považovat za rovnou 0. Limit funkce y = 1 / x pro x, který má tendenci k ∞, je 0. To je zapsáno následovně:

lim1 / x = 0
x → ∞

Funkční limit má několik vlastností, které je třeba zapamatovat: tím mnohem snadněji řešíte problémy s nalezením limitů:

Limit součtu se rovná součtu limitů: lim (x + y) = lim x + lim y
Limit produktu je produktem limitů: lim (xy) = lim x * lim y
Mezní hodnota kvocientu se rovná kvocientu limitů: lim (x / y) = lim x / lim y
Konstantní faktor je považován za limitní znaménko: lim (Cx) = C lim x

Pro funkci y = 1 / x, ve které x → ∞ je limit nula, jako x → 0 je limit ∞.

lim (sin x) / x = 1 x → 0

V článku Jak řešit limity je podrobně popsána metodika řešení těchto problémů. A uvažujeme o několika příkladech.

Řešení příkladů omezení

Vždy je nutné začít hledat limity funkcí tím, že ve funkci nahrazuje hodnotu x, ke které má tendenci.

Příklad 1

Lim (x-3) = lim (3-3) = 0
x → 3

Příklad 2

Lim [x 2 / (1-x)]. Pokud nahradíme x = ∞, získáme
x → ∞
∞ ² / (1-∞) = ∞² / (-∞).

Jedna nekonečnost v čitateli a jmenovateli je snížena:

∞ / (-1) = -∞. Proto,
Lim [x 2 / (1-x)] = -∞.
x → ∞

V těchto příkladech je vše jednoduché. Obvykle jsou však hranice funkcí vyhledávány pro hodnoty x, které vytvářejí nejistotu typu 0/0 nebo ∞ / ∞. Taková nejistota musí být zveřejněna.

Příklad 3

Lim [(2x2-3x-5) / (1 + x + 3x2)]
x → ∞

Nahrazujeme x = ∞ a získáme nekonečno v čitateli a jmenovateli, tam a tam na náměstí. Proto jsme získali neurčitost typu ∞ / ∞.

Nejprve se pokusme obě části frakce rozdělit do vyššího stupně - х²:

Lim {[(2x2-3x-5) / x2] / [(1 + x + 3x2) / x2]} =
x → ∞
= Lim {[(2x2 / x2) - (3x / x2) - (5 / x²)] / [(1 / x²) + (x /
x → ∞
Lim {{2 - (3 / x) - (5 / x ²)] / [(1 / x 2) + (1 / x) + 3]}
x → ∞
Pro x = ∞, 3 / x = 0; 5 / x2 = 0; 1 / x 2 = 0; 1 / x = 0.

Proto, ze všech strašných čtyřpatrových frakcí, které stále máme:

Lim 2/3 = 2/3.

Odpověď:

Lim [(2x2-3x-5) / (1 + x + 3x2)] = 2/3
x → ∞

V tomto příkladu můžete použít vlastnosti limitů a převést limit kvocientu na soukromý limit a pak představovat limity součtu v čitateli a jmenovateli jako součet mezních hodnot.

Pokud potřebujete najít limit složitého vzorce, s nímž nevíte, co dělat, nebo prostě nemáte čas, můžete využít službu online.

Přečtěte si více: